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Diario delle lezioni di
Geometria Algebrica 1:
- 18/09/2023
(1-2): Introduzione al corso. Insiemi algebrici.
Anelli Noetheriani e Teorema della Base di Hilbert.
Unioni finite e intersezioni qualsiasi di insiemi
algebrici. Topologia di Zarsiski sullo spazio affine.
La topologia di Zariski è T1 ma non è T2 se il campo è
infinito. La topologia di Zariski sul piano affine
A^2 non coincide con la topologia prodotto su
A^1xA^1. Base di aperti per la topologia di Zariski.
- 21/09/2023
(3-4): Topologia
di Zariski sul piano affine: i chiusi non banali
sono unione di un numero finito di punti e curve
algebriche. Ideali radicali. Ideale di un
sottoinsieme di A^n. Esempi. Spazi topologici
Noetheriani. Ogni spazio topologico Noetheriano è
quasicompatto. Un chiuso di A^n con la topologia di
Zariski è Noetheriano.
- 21/09/2023 (5-6): Teorema degli
Zeri di Hilbert. Corrispondenza biettiva tra gli ideali radicali
dell'anello dei polinomi in n variabili a
coefficienti in un campo K algebricamente chiuso e
gli insiemi algebrici di A^n(K). Gli unici
ideali massimali sono gli ideali dei punti (su campo
Alg. chiuso). Spazi topologici irriducibili:
definizioni equivaòlenti e esempi. Un insieme
algebrico è irriducibile se e solo se il suo ideale è
primo. Se il campo è infinito A^n(K) è irriducibile.
Componentio irriducibili di uno spazio topologico
Noetheriano. Ipersuperfici affini. Varietà affini.
- 25/09/2023
(7-8): Richiami sulle K-algebre finitamente generate.
Funzioni regolari su un insieme algebrico. L'anello
delle coordinate A(X) di un insieme algebrico X:
definizione, proprietà, esempi. Sottoinsiemi
algebrici. Morfismi di insiemi algebrici: definizione,
proprietà ed esempi. Un morfismo f:X->Y induce un
omomorfismo di K-algebre f^*:A(Y)->A(X).
- 28/09/2023
(9-10): Dati due insiemi algebrici X, Y, ogni
omomorfismo di
K-algebre A(Y)->A(X) è indotto da un unico
morfismo f:X->Y. Due insiemi algebrici sono
isomorfi se e solo se lo sono i loro anelli delle
coordinate. Esempi. Relazione
tra la dominanza/iniettività di un morfismo e
l'iniettività/suriettività dell'omomorfismo di
K-algebre f^*. Digressione sul prodotto tensoriale di
spazi vettoriali.
- 29/09/2023 (11-12):
Prodotti di insiemi algebrici e loro ideali. Le
proiezioni sono aperte ma non necessariamente chiuse.
Richiami su estensioni di anelli finite e finitamente
generate, elementi interi, chiusura integrale di un
anello in una sua estensione, estensioni intere.
Esempi geometrici.
- 02/10/2023
(13-14): Morfismi finiti tra insiemi algebrici. Un
morfimos finito ha fibre finite, è suriettivo e
chiuso. Lemma di Normalizzazione di Noether: enunciato
e interpretazione geometrica. Dimensione topologica di
unoi spazio topologico: definizione e proprietà. La
dimensione si un insieme algebrico coincide con la
dimensione di Krull del suo anello delle coordinate e
con il grado di trascendenza su K del campo delle
frazioni di quest'ultimo. Codimensione di un
sottoinsieme algebrico.
- 05/10/2023 (15-16): Richiami su
estensioni di campi, basi di trascendenza e grado di
trascendenza. La dimensione di A^n è n. Se esiste un
morfismo finito tra due insiemi algebrici X e Y,
allora X e Y hanno la stessa dimensione. Dimensione
del prodotto di due insiemi algebrici. Le
ipersuperfici irriducibili di A^n sono le uniche
varietà affini in A^n di dimensione n-1.
- 06/10/2023 (17-18): Esercizi.
- 09/10/2023
(19-20): Spazi proiettivi. Ideali omogenei:
definizioni, condizioni equivalenti e proprietà.
Luoghi degli zeri di ideali omogenei. Varietà
proiettive e quasi proiettive. Cono affine su una
varietà proiettiva. Teorema degli Zeri proiettivo e
topologia di Zariski su P^n.
- 12/10/2023 (21-22):
Ricoprimento affine di P^n. Ogni varietà iproiettiva
ha un ricoprimento costituito da varietà affini.
Funzioni razionali su P^n. Campo delle funzioni
razionali su una varietà quasiproiettiva.
- 13/10/2023 (23-24): Una funzione razionale su una varietà
quasiproiettiva è univocamente individuata dalla
sua restrizione ad un aperto non vuoto. Funzioni
razionali su insiemi algebrici (non
necessariamente irriducibili). L'algebra delle funzioni
razionali su un insieme algebrico riducibile
non è un campo. Funzioni regolari su una
varietà quasiproiettiva. Il campo delle
funzioni razionali su una varietà affine è
isomorfo al campo delle frazioni del suo
anello delle coordinate.
- 16/10/2023
(25-26): Applicazioni razionali tra varietà
quasiproiettive: definizione, proprietà ed esempi.
- 19/10/2023 (27-28):
Un'applicazione tra due varietà affini X e
Y è un morfismo di varietà affini se e
solo se è un'applicazione razionale da X a Y
viste come varietà quasiproiettive regolare in
ogni punto. Un aperto principale di una varietà
affine è una varietà affine. Il piano affine
meno un punto non è una varietà affine. Ogni
varietà quasiproiettiva ha un aperto denso che è
una varietà affine.
- 20/10/2023
(29-30): Dare un'applicazione razionale
da una varietà quasiproiettiva X nello
spazio affine A^m è equivalente a dare
una m-upla ordinata di funzioni
razionali su X. Un morfismo tra varietà
quasiproiettive è continuao rispetto
alla topologia di Zariski. Applicazioni
birazionali. Varietà razionali: esempi.
- 23/10/2023
(31-32): Due varietà quasiproiettive
sono birazionali se e solo se i loro
campi delle funzioni razionali sono
isomorfi. DImensione di una varietà
quasiproiettiva. Morfismi genericamente
finiti (definizione, esempi e proprietà)
e morfismi finiti.
- 26/10/2023
(33-34): Il grado di un morfismo
genericamente finito coincide con la
cardinalità delle fibre sui punti di un
aperto denso del codominio.
Ipersuperfici proiettive e loro spazio
dei parametri. Richiami sulle quadriche
proiettive e sulle proiezioni da
sottospazi di P^n.
- 27/10/2023
(35-36): Ogni quadrica di rango massimo
in P^n è razionale. Una quadrica di
rango r+1 in P^n è un cono su una
quadrica di rango massimo in P^r.
Applicazione e varietà di Veronese. Il
complementare in P^n di ogni
ipersuperficie proiettiva è una varietà
affine.
- 30/10/2023
(37-38): Applicazione e varietà di
Segre. Il prodotto di due varetà
quasiproiettive è una varietà
quasiproiettiva. Topologia di Zariski su
prodotti.
- 02/11/2023
(39-40): Esercizi.
- 03/11/2023
(41-42): Ogni
applicazione razionale
dominante tra spazi
proiettive è
composizione di una
proiezione con
un'applicazione di
Veronese. L'intersezione
di una varietà
proiettiva di dimensione
n con un'ipersuperficie
che non la contiene ha
dimensione n-1.
- 06/11/2023
(43-44): L'immagine di
una varietà proiettiva
tramite un morfismo è
chiusa nel codominio. Le
uniche funzioni regolari
su una varietà
proiettiva sono le
costanti. Ogni
componente irriducibile
dell'intersezione di una
varietà proiettiva di
dimensione n con h
ipersuperfici ha
dimensione maggiore o
uguale a n-h.
Intersezioni complete:
definizione e esempi.
- 10/11/2023
(45-46):
Esercizi.
- 13/11/2023
(47-48):
Semicontinuità
superiore
della
dimensione
delle fibre di
un morfismo di
varietà
quasiproiettive.
- 16/11/2023
(49-50): Per
un morfismo
aperto e
dominante di
unioni di
varietà
quasiproiettive,
l'irriducibilità
del codominio
e di tutte le
fibre implica
l'irriducibilità
del dominio.
Per un
morfismo
dominante di
unioni di
varietà
quasiproiettive
le cui fibre
hanno tutte la
stessa
dimensione, l'irriducibilità
del codominio
e di tutte le
fibre implica
l'irriducibilità
del dominio.
Scoppiamento
del piano
affine in un
punto.
- 17/11/2023
(51-52):
Risultante di
due polinomi.
Discriminanti
e punti
singolari
(lezione
tenuta dal
Prof.
Turchet).
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